复数

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复数的定义

形如

\[ z = x + iy \quad 或 \quad z = x + iy \]

的数称为复数，其中\(x\)和\(y\)是任意实数，\(i\)称为虚数单位(\(i^2 = -1\))。实数\(x\)和\(y\)分别称为复数\(z\)的实部和虚部。记为

\[ x = Rez, y = Imz \]

不再赘述的部分

1. 实部为0但虚部不为0的复数称为纯虚数

2. 两个复数相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等。

3. 实部相同、虚部只差一个符号的两个复数互为共轭复数。

复平面与复数的模及幅角

我们把表示复数\(z\)的平面称为复平面或\(z\)平面或\(\mathbb{C}\)平面。

在复平面上，复数\(z = x + iy\)可以由原点引向点\(z\)的向量\(Oz\)来表示，向量\(Oz\)的长度称为复数\(z\)的模，记为\(|z|\)或\(r\)，因此有

\[ |z| = r = \sqrt{x^2+y^2} \geq 0 \]

显然，\(|Rez| \leq |z| \leq |Rez|+|Imz|, |Imz| \leq |z| \leq |Rez|+|Imz|\)

当\(z \neq 0\)时，实轴正向和复数\(z\)表示的向量\(Oz\)的夹角\(\theta\)称为\(z\)的幅角，记为

\[ \theta = Arg z \]

显然有\(\tan \theta = \frac{y}{x}\)

任意非零复数\(z\)有无穷多个幅角，通常把满足条件

\[ - \pi < \theta_0 \leq \pi \]

的幅角\(\theta_0\)称为\(Arg z\)的主值，记为\(\theta_0 = arg z\)，于是

\[ \theta = Arg z = arg z +2k \pi (k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots) \]

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